Via Soproni LC en MTK Budapest kwam Babos medio 2000 bij NAC Breda terecht. Daar ontwikkelde Babos zich tot een van de betere keepers van Nederland en werd hij in 2004 uitgeroepen tot beste keeper van Nederland. Zijn prestaties bleven niet onopgemerkt en toen zijn contract in 2004 afliep, tekende hij bij Feyenoord. Onder toenmalig trainer Gullit, kwam Babos in Rotterdam al gauw op een zijpoor terecht. Toen Dennis Gentenaar bij N.E.C. vetrok, werd Babos voor een jaar gehuurd. Babos keepte een uitstekend seizoen. Het jaar daarop wist N.E.C. de keeper definitief over te nemen van Feyenoord. Gábor Babos is in 2008, na een aantal jaren afwezigheid, teruggekeerd als doelman van Hongarije. In Nijmegen groeit Babos uit tot een belangrijke peiler en keepte hij 3 seizoenen achter elkaar alle wedstrijden. Eind december 2008 werd zijn contract opengebroken en verlengd tot medio 2012. Tijdens de voorbereiding op het seizoen 2009-2010 werd Babos verkozen tot aanvoerder van het team. Als een van de \'ouderen\'in de selectie is hij niet alleen een soort vader voor de groep, maar ook voor zijn pas geboren zoon Dani Laszlo.

In het seizoen 2010-2011 maakt een blessure na drie wedstrijden een einde aan vier seizoenen bij N.E.C. zonder een minuut gemist te hebben. De jonge doelman Jasper Cillessen grijpt zijn kans en Babos moet als hij weer fit is genoegen nemen met een reserverol. Met een vrije transferstatus bestond de kans dat Babos N.E.C. zou verlaten, maar na het vertrek van Jasper Cillessen naar Ajax is Babos weer dé nummer 1 van N.E.C. Zijn 500ste wedstrijd als prof speelde hij uitgerekend in de derby tegen Vitesse die N.E.C. met 0-1 won. In maart 2012 werd bekendgemaakt dat Babos er nog een jaar aan vastknoopt bij N.E.C. en verlengt hij zijn contract tot medio 2013.