Gábor Babos startte zijn loopbaan bij FC Sopron. De doelman maakte indruk en transfereerde na drie seizoenen naar MTK Boedapest, waar hij na vijf seizoenen als basisspeler naar Nederland vertrok om voor NAC Breda te gaan spelen. In Breda werd de Hongaar al snel een vaste kracht en benoemd tot een van de beste keepers van de Eredivisie. Dat leverde hem een transfer op naar Feyenoord. Na 28 wedstrijden in Rotterdamse dienst trok N.E.C. de doelman aan. In Nijmegenen werd Babos een cultheld. Uiteindelijk kwam hij acht seizoenen uit voor N.E.C., waarvan zeven als basisspeler. In de zomer van 2013 besloot Babos af te gaan bouwen en keerde hij terug naar NAC Breda om als tweede doelman te fungeren.

Na zijn carrière ging Babos bij NAC Breda aan de slag als keeperstrainer in de jeugdopleiding. Daarnaast werd hij hoofdtrainer amateurclub RKSV BSC. De club uit Roosendaal komt uit in de derde klasse zondag. In maart 2018 legde hij beide functies neer om keeperstrainer bij N.E.C. te worden als tijdelijke vervanger van Wilfried Brookhuis.